大家好，我是陈焱，来自天津大学机械工程学院。我主要研究机构理论和它在工程中的应用，大家见到的所有会动的工程装备，都是我们感兴趣的。我今天给大家带来的话题是《硬核折纸指南：从艺术走向科学》。

说到折纸，大家第一个印象就是孩童时的记忆，比如纸飞机、纸船，当然也包括千纸鹤，这是我们手工艺术里的代表。

千纸鹤代表着美好的记忆，山东台儿庄就曾用千纸鹤来缅怀先烈。同时，千纸鹤在折纸历史中占有非常重要的地位。虽然折纸有很多年的历史，但是折纸的记录，是从日本僧人写的《秘传千羽鹤折形》这本书开始的。

自然和人类的折纸大师

折纸其实并不仅仅属于人类，自然界中也有很多折纸大师，我今天给大家带来两位。

一个是植物界的代表——榉树的叶子。其他树的叶子是从一个小叶片成长成一个大叶片，而榉树叶子特殊的地方在于，它在叶苞里像花朵一样从小长大。叶苞被撑裂之后，它就经过一个折展的过程，展开成叶片。

动物界的折纸大师最典型的代表就是甲虫。甲虫有一对软翅和一对硬翅，软翅平常是折叠起来藏在硬翅底下的，当遇到危险或要长途飞行时才打开。问题是它们没有手，要怎么打开翅膀呢？它们是用身体里的压力，把体液压到翅脉里，能在毫秒级别的时间“嘭”一下把翅膀打开，就可以飞走了。但是飞起来很爽，飞完之后麻烦就来了，甲虫怎么才能把翅膀折叠起来呢？它就在背后用左边和右边的翅互相敲击，慢慢把体液压回身体里，翅膀才能折起来，这个过程就需要10多分钟的时间。

自然界的折纸也给人类研究很多启发。尤其是在这个世纪，折纸上升成一个非常高端的、叹为观止的艺术品。这是我们中国的折纸艺术家陈晓创作的《雨中漫步》。他用一张纸，通过复杂的折叠形成了一个美女撑伞的图案，获得了去年（2022年）国际折纸大赛的冠军。

上面是日本折纸艺术家布施知子创造的图案，它叫方形扭转（square-twist）图案。大家可以看到这个纸面上有很多正方形突出来，发生了一定程度的扭转。那么你肯定要问，这个东西是怎么折出来的？它其实并不像我们折一个纸飞机、一个纸船那么简单，而是背后有很复杂的几何设计，这就涉及到折纸背后的数学。

数学家在研究折纸时，并不是那么立体的、五颜六色的，而是回到了一张白纸上，用黑线来描述折纸的图案，我们称之为“山谷线的分布图”。所谓的“山线”就是折向你的线；而“谷线”就是远离你的线。

一旦有了山谷线分布图，你就能把一张纸折成复杂的几何形状。大家来猜猜，上面这个图案会折成什么呢？

其实折成了一只猫头鹰。左上角那个比较复杂的、扇形的部分其实就是猫头鹰的尾巴。感兴趣的人也可以找一找猫头鹰的眼睛是从哪个地方折出来的。

随着计算机图形学的发展，折纸艺术家不再满足于做直线的折叠——直线折叠往往带来的是平面的效果。为了追求曲面的、更美的图案，“曲纹折叠”被引入进来。这个曲纹要怎么折呢？其实曲纹有很多折法，有湿折法，就是先把纸搞湿了折。还有一种比较简单粗暴的方法，找一张结实一点的纸，用圆珠笔在上面拼命地画曲线，它就自然而然可以折叠了。

工程师眼中的折纸术

我是一个工程师，那折纸在工程师眼里又是什么呢？我们正在想尽办法把这个古老的手工艺术应用到工程领域，让它发挥作用。

尤其是航天科技上有大量的折叠需求。大家知道，太阳能帆板、卫星天线这些大型结构是没有办法放到小小的火箭整流罩里的，所以必须把它也折得小小的，才能在体积上满足火箭整流罩的尺寸，发射到太空后再快速地展开。可以说，航天科技的发展促进了折纸工程学的诞生。视频里是美国设计的一个概念性的遮光罩，这个卫星是用来做系外行星探测的，但恒星太亮了，使它看不到行星，所以就要造一个遮光罩，这样卫星就可以做深空探测了。

要把折纸用到工程上去，第一个问题是工程上很多结构都并不像纸张一样柔软，而是刚硬的结构。所以，我们就要把这个纸片认为是刚性的，而所有的折痕就像门的铰链一样，是可以发生扭转的。 

这样一来，我们其实是在研究一种特殊的折纸——刚性折纸。我们认为纸片是不会产生变形的，就把纯数学的问题转化成一个球面机构的问题。这就回到了我的老本行——机构学。首先要分析这些已有折痕到底是刚性的还是非刚性的？如果它是刚性，就很容易用到工程里；如果它是非刚性的，那就有点麻烦了。

这是刚才提到的方形扭转的折痕，当我们研究它的机构运动学行为时，实际上是要关注它的山谷线的分布。大家关注中间这个正方形，在传统艺术里（左一），中间这个正方形的4个边都是山线，但其实也可以布谷线，比如说第二个就是两山两谷相对，第三个是两山两谷相邻，第四个是一山三谷。

这会带来什么效果呢？就是上面这四幅图，它们的折叠的方式完全不一样了。通过复杂的几何运算会发现，在折叠过程中，前两个是非刚性的，如果硬折它，圈出的梯型面板会发生弯曲。但如果面对一块钢板、一块木板，是没有办法把它弯曲的，这就意味着折叠过程不会发生。

刚性折纸要求所有的面板都不发生变形，可以很容易地折叠起来。我们的一部分工作就是分析已有的折痕，同时还要发明新的折痕来适应不同的工程需求。

这是我们在研究过程中设计的一个可折平的管状结构，可以把一个很长很长的管子折平。航天上一些框架式的结构就可以以这个为基础进行折叠。

我们平常看这个管子的时候，都是竖着看它。其实一旦把它横起来，就会发现还是一个折纸帐篷。它的特点是单自由度，很容易展开，可以创造出一个很大的空间。同时它是纸做的，所以环保、轻质。这个设计获得了日本技术与商业计划大赛地震重建部的部门奖。

我今天给大家带来一个小号的模型，可以看到它可以简单地展开，还可以很容易地收拢起来。这是正在开发的一个产品，是宠物的帐篷。如果你带宠物去酒店，就可以把它安放在里面。

然后我们又回归到老本行，去设计新的图案。除了直的管子，我们还设计了各种弯曲的管子。

甚至还有两个通路的管子。两个通路有什么用？可以用来做隔声的材料，在不同方向上它的声学效果是不一样的。

用折纸设计航天部件有多难

在折纸时，我们认为纸的厚度可以忽略不计，是零厚度的。

就像这个图片里，当折这张纸的时候，可以很紧密地折叠。但在工程结构中，比如太阳能帆板、卫星天线，这些结构的厚度是不能忽略的，折叠过程会产生物理干涉，没办法紧密折叠。

这就是为什么很多航天上的太阳能帆板都是一个方向、W形状的折叠，因为两个方向同时折就会产生物理干涉。

怎么解决这个问题呢？我们回到最原始的机构学的角度：球面机构要求所有折痕交在一个点上，但交在一个点的后果，就是物理干涉必然存在。所以，我们不把所有折痕都放在它的中性面上，而是放在这个厚板的上表面和下表面，这样一来，这些折痕不交在一个点上了，它的机构运动学模型就由球面机构变成了空间机构。

由于我们之前在空间机构方面有很多研究，所以很顺利地把各种各样顶点的厚板问题解决了，建立了厚板折纸的运动学模型。

解决了顶点之后，就可以把一个好大好大的平面结构，通过厚板的方式收拢起来。

这不仅解决了航天结构上的双向折叠问题，也回答了一个科学界的难题，所以这成为国际机构学领域发表的首篇《科学》（Science）论文。

现在，我们可以把一个大平板折起来了，航天工程师就很高兴地来了。他说：你看现在可以折叠了，但这样一个结构，仔细看就会发现实际上表面有一层一层的台阶，这个做太阳能帆板还不错，但要做天线的话，这些不均匀、不平整的表面会造成天线不能正常工作。

甲方提出的要求我们必须满足，所以我们就灰溜溜地跑回实验室，又做了大量机构运动学的反算，把上表面所有的折痕都转移到它的背面去了。这并不是一个简单的转移，要做很多机构学演算。最后真的设计出一个完全平整、而且折叠方式跟原来一模一样的天线设计，可以用来做相控阵天线。

这个都做好了，但甲方的要求总是在不断变化的。很遗憾，所有的甲方都是这样。现在又要我们折叠一个抛物面或者抛物柱面天线，这样的天线在航天里的应用是非常广泛的。所以我们又灰溜溜回到实验室，“吭哧吭哧”做了很多机构学上的工作。

终于，我们把抛物柱面和抛物面天线都完成了折叠。当然，目前的工作还处在基础研究领域，所以大部分只是从“不可能”变成“可能”，哪一天这个结构才能从“可能”变成“可行”，最终发射上天呢？我们可以共同地期盼一下。

从天上回到地上的应用

发射上天之后，甲方又回来说：除了这个天线要飘在天上之外，我们还要建月球基地，你是不是考虑也给折了？我说为什么呢？月球基地让宇航员去建好了。

他很无助地跟我说：宇航员都穿成这样了，怎么建一个自己的房子呢？很不方便、效率很低，还是在地球上折好送上天，宇航员打开就好了。我说好吧，那我们努力吧。

所以我们设计了一个模块化的折纸单元，可以用来做房子。它有不同功能的模块，最后一个模块是没有折展功能的，因为它是卫生间。利用这种折叠方式，可以把一个很大体积的物体进行最紧密的压缩，然后把它送上天。

我在建筑学院的朋友看到这个设计后非常感慨，说要不然把它拿去做露营房屋吧？我说可以啊。你拿去做露营房屋，同时我们也可以做月球基地。你想，住在一个跟月球基地同款的房屋里露营，是不是心情瞬间就变得高大上，窗外的星星也变亮了？

除了做航天上的应用，其他领域也有很多折纸可以发挥的地方。我举一个身边的例子，大家开车的时候车前面有保险杠，保险杠后面有两个吸能盒。一般车的吸能盒就是一个方罐子，贵一点车的吸能盒是波纹型的。左边这是宝马车的吸能盒，大家知道波纹型造出来很复杂，要通过铸造等其他方式造出来，成本比较贵，据说这个吸能盒要2000块钱。

我们在实验室里做了右边这个有折纸图案的一个类似方型的吸能盒。折纸图案的存在，能使它在受到冲击过程中能吸收比原本多50%的能量。或者反而言之，在吸收同样多能量的情况下就可以减轻结构的重量，这在汽车上是非常非常重要的。而且这个吸能盒的工业生产成本还不到500块钱。所以大家可以考虑一下把宝马车的吸能盒换成我们这个，将来维修时比较省钱。

除了折平面结构，我们更感兴趣的是把立体的结构压扁，这是一个很大的折展比，甚至说体积折展比可以达到无穷大。但数学家会告诉你，多面体是不可以刚性折叠的，因为里面有空气。那好，我就把这个多面体的表面切一刀，让空气跑出来——当然实际原因不是这样。我们引入了剪纸，用剪纸的方式把一个多面体紧密地折叠起来。

我们还做了一些细致的工作。大家看动画里这个铰链的部分，好像跟平常的门铰链有所不同。我们做了新的开发，让它变成具有双稳态的铰链，从而使整个结构具有3个稳态。就是用这个绳子一扽一扽的，它有3个稳定的结构，机构可以稳定地停在这3个位置。这是一个很基础的研究。

工程师永远问的第一个问题是：有什么用呢？对呀，它有什么用呢？我们找到微电子学院跟做天线的老师合作。天线的工作频段和它上面电子器件的面积是相关的，所以如果把一个电子器件附在它的上表面，随着机构在不同稳态的停留，它面对馈源的面积会发生3个情况的变化，那就可以把1个天线变成3个天线来用。

我们在实验室里做了一个频率可重构的5G天线，它可以在5G的3个波段工作，也就是成功地把1个天线变成3个天线了。

但这个工作又遭到了建筑学院老师的嫌弃，他说你们模型做的太丑了。然后他就给我们造了一个非常漂亮的折展亭。他还提出一个问题，以前老是折方的，其他形状的行不行呢？我们就发现，任何形状都是可以的，所以有三角形的、六边形的折展亭。

建筑学院的大佬还亲自操刀，给我们做了折展亭的CAD效果。可以看到，在艺术家的手里，折展亭不再是简单的三角形片，而是像花朵一样的片，当它展开的时候，真的像一朵花一样。

那么我今天的分享就到这里。如果大家想知道背后艰辛的科学过程，请访问我的网站。

谢谢大家！