大家好，我今天和大家分享的主题是：让我们积极思考起来。

各位演讲嘉宾告诉我们一个重要的事实——他们都是因为积极地思考激发探究，从而取得卓越成绩的。他们不仅是优秀的人，更是积极思考、掌握思考策略的卓越者。

今天，我想和大家一起，像他们一样努力进行积极的思考，从中来感悟学习数学是一件很容易的事。

孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆。”爱默生说：“不下决心培养思考习惯的人，便失去了生活中最大的乐趣。”我相信，在座的朋友们、同学们都有这样的感受：独立思考能力是科学创造发明的必备才能。这也是伟大的数学家华罗庚说的话。

对于学校来说，要培养具有思考力的人。那么如何培养呢？其实就是要培养孩子们善于提出问题的能力。爱因斯坦说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”图尔敏也说：“思维的进步，不在于验证已有的答案，更重要的在于提出更深刻的问题。”

在当下，AI以不可思议的快速发展态势在推进，同时更有一些广阔的应用。在这样的情况下，我们更要在意的是要拥有逻辑化思考的基本意识，要具有多角度思考的基本习惯，以应对未来的AI发展。当下的中小学更需要培养孩子们具有这样的双基，也就是逻辑化思考和多角度思考的意识。

如何来培养他们的双基呢？我们要积极地引导孩子们独立思考的能力。那么如何进行积极的思考呢？可以从简单问题开始进行深度思考。又如何来进行深度思考呢？我们要掌握一些基本的策略和要求。对于数学而言，我们拥有这样的基本策略和要求，学得就相对轻松。

“简单问题深度思考”是一个在全球范围内培养卓越英才的基本方式。同学们也可以运用这样的方式来进行思考、探究、学习、提升。

数学有三个重要的基本要素，就是数学的思考、数学的眼光、数学的表达。对于数学教育，我们就基于这三个基本的要素展开。

下面我想结合一个具体的例子带大家进行思维的冲浪，帮助大家了解我们是如何利用这样的一些基本策略展开思考和探究的。

大家都知道2×2=4，2+2=4，那么它们是什么关系呢？是相等的关系。这样我们就有2+2=2×2。如果我们反过来考虑呢？也就是说如果一个数它的自加等于它的自乘，这样的数一定是2吗？还有没有其他的数呢？

当我们把一个问题反过来进行思考，由此我们就得到了新问题。如果我们用字母来表示，就有了“a+a=a×a，请问正整数a是什么？”

接下来，我们可以继续再往前推进。刚才说的是2+2，我们把它看做的是一个数，如果换一个角度看，把它看成两个数呢？那我们就想问，两个正整数的和等于两个正整数的积，这样的两个数如何求？因此我们得到了问题3。问题3是把一个问题中一个数的自加看成了两个数，这两个数可能是相同的，也可能是不同的。这样的思考是自然的思考。

接下来，我们就要考虑问题4。刚刚得到的问题是a+b等于a×b，问这样的正整数a、b的情况。我们从小就学的加减乘除四则运算，其实是数学大厦的基本要件。那么，在这里我们就可以考虑把“加”改成“减乘除”，把“乘”改成“加减除”。这可以吗？可以。为什么？这是你的自由。你在思考这样的问题、做这样的尝试是应该的。

我们来试试看，可以在草稿纸上写一写，就会得到这样的几个问题：比如从a+b等于a×b开始，有了a-b等于a×b、a÷b等于a×b、a+b等于a-b、a-b等于a÷b。这是很容易得到的。

接下来，我们就要去问问，这样的a、b存不存在呢？我们可以进行探索。当然探索的过程中可能会用到一些知识，我们可以借助于现在的AI进行自主的探究、学习，这是很有意义的一件事。

刚刚我们考虑a+b等于a×b背后运用的是四则运算的思维方式转换。那么同样，我们能不能将要求的正整数改成整数呢？

有些同学会说，还可以改成有理数、实数、复数，甚至有的同学说，可以把这样的a和b换成矩阵。这样一来，我们通过改变对象，又得到了一系列的问题。这些问题是非常有趣的，因为这些问题是通过你自己的思考得到的，这就是它的意义所在。

刚才是思考对象的变化，现在我们转换到几何上去。我们把正整数a和b看成一个矩形的长和宽，由此我们就得到了第一个问题：一个矩形的长宽都是整数，如果矩形的面积等于周长值的一半，求该矩形的长和宽。这就自然地转化成了一个几何的问题。

同样，我们还可以把这个问题看成一个曲线。在曲线上，a和b转化成它的纵坐标和横坐标，它们是正整数的点，叫整点问题。

一些同学可能会说，矩形的长宽也可以改成求面积，求周长等等。这样，你又可以利用我们刚才所说的对象的变化把它散移开来，就得到了新的问题。这是非常好的一个习惯。

刚才是两个数，3个数又如何呢，4个数又如何呢，5个数又如何呢，N个数又如何呢？虽然可能解决它比较痛苦，但是可以提出这样的问题。大家知道，提出问题更有意义，因为提出问题之后，沿着它去解决，可以学到若干的知识、用到若干的工具，这样就不知不觉地向前进步，不知不觉地迈向高处。

那么同样的道理，我们换一个角度再来看一看，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，a+b等于a×b，a×b也可以看成1×(a×b)，那么这个1能不能改成1/2呢？改了以后存在答案吗？

接下来改成1/2如何，2如何，K如何？K是什么意思呢，就是把这个数字一般化。即使问题解决不掉，至少我已经在高处，一览众山小，居高以临下，决胜于千里。

上面的问题我们都是按照四则运算、按照对象的变化，还有一般化来进行思考的，这让我们很容易达到思考的高处。那么接下来，我们提出的这些问题可以解决吗？

当然，我觉得是可以考量的。解决问题的过程中，可能会遇到一些复杂的问题觉得做不下去，做不下去的背后，我们再回到原来的地方，看看原来的问题能解决多少。已知a+b=a×b，能不能有5种以上的解法把它搞定？

这有什么好处？当你对一个基本知识认知的角度越多，我们对它的熟悉程度也就越高，处理复杂问题的时候，就越容易。甚至所谓的难题，其实就是因为缺路径，缺路径也就是缺角度。

这就说明我们平时学习中，一些题目做不出来的原因其实就是对基本知识没有很熟悉、没有进行多角度思考，以至于缺少角度。

这里我们有几种多角度思考的方法。第一，小学生学的整除同理；第二，分离变量；第三，因数分解；第四，可以把问题看得复杂一点，看成一元二次方程、两数的和、两数的积，这也是一个对问题的基本理解；第五，是小学生也可以做的估算，它恰恰可以解决一类复杂的问题。

这里的估算很简单，比如两个数的积等于两个数的和，它的结果一定不会超过一个较大数的两倍。换一句话说，一个较小数乘以较大数或者它们相同，它们的积不会超过一个较大数的两倍。这样很容易得到一个结论——较小的数不会超过2，因为是正整数，所以这个数要么是1要么是2。由此把它代入，变成了一个非常简单的问题。这种做法叫做估算，通过这样的解法，我们很容易把这样的问题解决掉。这就是第五个角度。

一题多解这一点很重要，平时大家要养成这样的习惯。

当我们会了一题多解之后，就要考虑一解多题。什么叫一解多题？也就是每一个解法背后，能不能解决一类问题？这里我给出了一些题目的一些解法思路，请大家回去探讨一下。

接下来是一题多题。一题多题我很在乎的是一般化、规律化的题，还有跨界应用。这里不做过多赘述。

在不知不觉中，我们已经产生了下面的这些问题，汇总起来有20多个。

如果给我时间，我们还可以玩出有一点难度的，比如说竞赛题、中考题、高考题等等。怎么玩呢？就是用一些思维的策略。

思维策略包括对象的变化，、运算的变化，以及个数的变化、图的变化，我把它简称为GO-ON，用一句话总结，就是Let's GO-ON。用GO-ON这样的策略，我们可以玩出很多的问题，由此还可以去进行更深入的、更熟练的学习。

在前面得到问题的过程中，我们还用了“反过来同理”。事实上，我们平时学习的过程中，如果把书上的题目反过来思考，会达到事半功倍的效果。

如果把这样的一些方法、一些知识点用同理的思考方式，那么接下来就可以处理更为复杂的问题，包括我们所说的四则运算。这里主要给出来的是命题的四种形式，限于时间不在这里多说，因为有逆命题、逆否命题、否命题以及它的变化。

换句话说，我们平时做的题目大概有2/3是由这样的命题变化覆盖的，另外还有一般化、规律化。

接下来就是“三一思考”，也就是刚刚说的一题多解、一解多题、一题多题。“三一思考”不仅仅是数学问题的重要概念，而且在观念、诗句、词语等等实验中，强烈建议孩子们学会“三一思考”，这样你一定会达到高效率的学习。

总之，我们要去玩起来，把简单问题深度思考，不要说平时没时间，也不要一味地刷题。我们要留点时间给自己思考，从简单的问题开始去思考。因为只有这样，你才能感受到学习数学的乐趣。

数学大家陈省身先生说“数学好玩”，因此我想说，让我们玩起来，让我们积极地思考起来。因为思考，我们会得到更多的乐趣，我们会从中探究得到一些成果。总之，我们一定要坚持去做，在座的每一位都知道，1.01的365次方效能是有意义的。

还有，我也建议大家在学习的时候留点时间给自己，留给自己思考，多角度地去认识事物；因为思考而一般化、而规律化，从而走向了高处；因为思考而曼妙、而青春、而生长。

如果我们说“我努力，我尝试”，那我们一定在山巅；如果不试试，一定在山底。我们要说：“我思考，我探究，我卓越”。

谢谢大家！